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将数学建模思想融入数学类主干课程
2019-01-08 14:36:45
 李大潜院士
 
 
    将数学建模的思想融入数学类主干课程这一建议,并不是心血来潮的产物,而是有充分的根据,并已酝酿了相当长的一段时间的。
    先谈谈对数学这门学科的看法和认识。
   数学是什么?按照恩格斯的说法,数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。这是对数学的一个概括、中肯而又相对来说易于为公众了解和接受的说法。尽管从恩格斯到现在,数学的内涵已经大大拓展了,人们对现实世界中数量关系和空间形式的认识和理解也已今非昔比、大大深化和发展了,但恩格斯的说法应该说仍然有效,没有必要从根本上加以改变。
   长期以来,在人们认识世界和改造世界的过程中,对数学的重要性及其作用逐渐形成了自己的认识和看法,而且这种认识和看法随着时代的进步也在不断发展。概括起来,大概有下面几点:
   数学是一种语言。数学是一种科学的语言。伽利略就曾说过:“宇宙这本书是用数学语言写成的。……除非你首先学懂了它的语言,……,这本书是无法读懂的。”数学这种科学的语言,如果运用得当,是十分精确的,这是数学这门学科的特点。同时,这种语言又是世界通用的。加、减、乘、除,乘方、开方,指数、对数,微分、积分,常数等等,这些数学语言和符号一开始虽然可能五花八门、各有千秋,但早已统一为一个固定的样式,世界各地通用。正因为如此,尽管不怎么精通外文,往往还是可以凭着文中的记号及公式把外文书籍或论文中有关的数学结论猜个八九不离十。这是数学家往往可以读好几国外文数学论著的原因,可能也是我们一些中国数学家外文水平相对不高的一个原因。不管怎样,数学是一种精确的科学语言这一点,应该容易成为人们的共识。
   数学是一个工具。数学是一个有力的工具,在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用,已经是一个不争的事实。在现代,数学作为四化建设的重要武器,在很多重要的领域中起着关键性甚至决定性的作用,这一点也愈来愈清楚地为人们所认识。
   数学是一个基础。数学是各门科学的基础。不仅在自然科学、技术科学中,而且在经济科学、管理科学,甚至人文、社会科学中,为了准确和定量地考虑问题,得到有充分根据的规律性认识,数学都成了必备的重要基础。现在,很多科学(特别是很多自然科学)中的数学化趋势,有的已初见端倪,有的也已是呼之欲出。
   数学是一门科学。数学不仅具有上述那些服务性的功能,而且特色鲜明,自成体系,本身是一门重要的科学。按照恩格斯的说法,自然科学是以研究物质的某一运动形态为特征的,而数学则不然,它是忽略了物质的具体形态和属性,纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的。数学和物理、化学、天文、地学、生物等自然科学不属于同一个层次,不是自然科学的一种,而是和研究思维规律的哲学类似,具有超于具体科学之上、普遍适用的特征。现在的数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。好多学校的数学系改名为数学科学学院,反映了这一个现状和趋势。
   数学是一门技术。过去一支笔、一张纸就能搞定的数学,竟然可以成为一门技术,似乎匪夷所思。但是,数学的思想和方法与计算技术的结合的确已经形成了技术,而且是一种关键性的、可实现的技术,称为“数学技术”。它本质上是数学的内容物化为计算机的软件及硬件,成为技术的一个重要组成部分和关键,从而也可以转化为先进的生产力。“高技术本质上是一种数学技术”的观点现已为愈来愈多的人们所认同。
   数学是一种文化。数学是一种先进的文化,是人类文明的重要基础。它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用,占有举足轻重的地位。这一点,可能认识到的人并不多,在我们国家也似乎一直没有引起足够的重视,值得稍许多说几句。
   远在古希腊时代,著名的毕达哥拉斯学派的信条就是“万物皆数”(这里的数指的是整数),他们是通过数来理解整个世界的。在数学史上,古希腊的数学是一个极为辉煌的时期,整个古希腊的文明是与其相伴,并以其为基础的。在古希腊,一个不懂得数学的人不算一个有文化、上档次的人,是被人轻视、难以进入大雅之堂的。柏拉图在雅典学院的门口大书“不懂几何学的人不得入内”,就充分体现了这一点。当时,懂不懂数学是身份、品位和文明的象征,数学是作为一种高雅的文化得到人们的尊重的。这正像在俄国过去的沙龙中,人们是以说法语为荣的。在俄国的上层社会懂不懂法语成了有没有文化、上不上档次的一个标志。托尔斯泰的《战争与和平》中有着大段大段直接用法文写的对话,就是一个明证。文艺复兴是在中世纪的黑暗统治之后力图恢复古希腊的文明及传统,所以称为文艺复兴。这个传统一直延续下来。应该说,在西方,数学作为一种文化、一种文明的象征受到尊重,是历史悠久的。
    在我们国家,情形就有很大的不同。在过去,一个人懂得诗词歌赋,会得琴棋书画,甚至会写一点儿八股文,就被尊为文人,就被认为有文化、有知识、有品味,科举的大门为他们敞开,升官进爵的机遇也主要向他们提供。而懂得数学的人,好的,大体上被视为一个能工巧匠;不好的,甚至被视为另类,视为一个不食人间烟火的怪物,恐怕很少会有人把数学和文化沾上边。这种情况现在有了一些转变,大学数学系的教授被承认是一个文化人。但要在内心深处承认数学是一种文化,而且是在推动历史进步、人类文明发展方面起重要作用的文化,是人类文明重要的支柱;要在内心深处认为对数学必须大力弘扬,必须努力创造条件使数学在我国更快地发展,为人类的文明做出更大的贡献;要在内心深处承认自己的数学根底不够不是一个可以炫耀的资本,而是一个严重的缺憾,不是一个成材的捷径,而是一个拦路的障碍,不仅自己要努力学好数学,而且要鼓励和推动下一代学好数学、用好数学,凡此等等,无疑还需要做很多细致深入的工作,也还需要借以时日。但这是我们不可推卸的神圣责任,要耐心持久地加以宣传,认真做好工作。
   上面这些对数学的看法,总的来说愈来愈得到人们的认同和共识。一个突出的标志就是大学数学类专业的录取分数线逐年上升,在不少学校已经名列前茅。这么多优秀的中学毕业生看好数学类专业,其中固然会有一小批人是想做数学家、将自己的一生献给数学的,但绝大多数的家长及学生恐怕还是看到:学好了数学这个重要的语言和工具,掌握了数学这个重要的基础,那就掌握了开启任何科学技术之门的金钥匙,如果需要,将来也可以比较方便地转向其他领域,有广阔的发展前景和回旋余地,是一个最佳的选择。除了数学类专业外,还有更多的大学生选学的是其他种种专业,但数学类课程仍然是他们的主干基础课程。有大量经过良好数学训练的毕业生走进各行各业,这是社会的需要,对数学的发展特别是应用数学的发展也必然起到积极的推动作用,它的深远影响相信在不远的将来就可以清楚地看到。
   面对国家经济社会发展对人才培养提出的新要求,面对大学毕业生的种种可能的去向,大学数学课程的教学决不应该定位于仅仅传授给学生数学知识,仅仅教给他们一套从定义、公理到定理、推论看来天衣无缝的体系,把他们的头脑变成一个小的数学百科全书,甚至是一个小的数学图书馆。相反,数学的教学,不仅要使学生学到许多重要的数学概念、方法和结论,而且应该在传授数学知识的同时,使他们学会数学的思想方法,领会数学的精神实质,知道数学的来龙去脉,在数学文化的熏陶中茁壮成长。为此,应该结合教学过程,使学生了解他们现在所学的那些看来枯燥无味,但又似乎是天经地义的概念、定理和公式,并不是无本之木、无源之水,并不是从天上掉下来的,也不是人们头脑中所固有的,而是有其现实的来源与背景,有其物理原型或表现的。正如恩格斯所说:“人们还常常以为我们在这里所研究的是人类精神的纯粹‘自由的创造和想象的产物’,而客观世界上决没有与之相适应的东西。可是情形恰恰相反。自然界对这一切想象的数量都提供了原型。”只有认识到这一点,才能真正领会数学的精髓,才会关注和致力于数学的种种应用,使数学真正成为得心应手的犀利武器。也正是在这一方面,过去的数学教学暴露出根本的缺陷:过于追求体系的天衣无缝,过于追求理论的完美和逻辑的严谨,忘记了数学从何处来、又向何处去这个大问题,把数学构建成一个自我封闭,因而死气沉沉的王国。其结果是不少学生被一大堆概念及公式牵着鼻子走,知其然而不知其所以然,不仅没有得到数学文化的熏陶,反而在数学的迷宫里失去了前进的方向,培养创新能力更难免成为一句空话。
   大学生数学建模竞赛的开展,以及大学中“数学模型”及“数学实验”等课程的开设,向这种不合理的状况发起了冲击,取得了良好的效果,也得到了广大师生的热情关注和大力支持,成为这些年来大学数学教学改革中成效显著、光芒四射的亮点,这是有目共睹的。但是,我们不应就此满足,我们还必须继续前进。
   对大学生数学建模竞赛,我们历来强调的是“重在参与”。现在规模虽然逐年扩大,发展得很红火,但参赛的人数毕竟有限,而且竞赛毕竟是竞赛,少数单位为得名次而不择手段的弊端也已有所露头,不能不使人为之担忧和警觉。
   “数学模型”和“数学实验”课程的开设,使更多的同学收益,效果很好,但总的说来还处于不断革新和完善的过程中。对这些课程要准确地定位,对其教学基本要求、教学内容和方法要认真安排,这些都有待于进一步的探索与实践,并期待着更大的成绩和进步。应该指出,在坚持这些课程教改方向的前提下,和其他课程相比,更要注意贯彻少而精、多讲不如多练的原则,不宜求大求全,片面追求自成体系,使篇幅越来越大、内容愈加愈多、教材愈编愈厚。否则,必然会冲淡这类课程实践性强的特点,必然会加大同学的负担,也会影响其他课程的深入学习。其实,要知道梨子的滋味就要亲口尝一尝,多尝几口自然可以增加印象,但如果把各种各样的梨都非要尝一遍不可,那就要走向烦琐哲学,不仅达不到应有的效果,反而会损坏了它的基本精神,走向自己的反面。
   这里着重强调,无论是“数学建模竞赛”,还是“数学模型”与“数学实验”课程的开设,从严格的意义上说,都是外加到原有的数学教学体系上的,说白一点,是在承认它们重要性的前提下作为“补丁”加上去的。如果数学类的主干课程依然纹丝不动、我行我素,如果数学建模的精神不能融合进数学类主干课程,仍然孤立于原有数学类主干课程的体系之外,数学建模的精神是不可能得到充分体现和认可的,数学建模的成果也是不可能巩固的。我们以前就说过,目前在这方面取得的成绩只是初期阶段的表现,要进入高级阶段,一定要使数学建模的精神融入到数学类主干课程中去,才能算是真正牢固地占领了阵地。
   下面,我对如何将数学建模的精神融入数学类主干课程再发表一些具体的意见,供大家参考。
   要了解数学的思想方法和精神实质,有必要了解数学思想是怎样发展的。这里有相辅相成的两点值得注意。首先,正如恩格斯所说:“和其他所有科学一样,数学是从人们的实际需要中产生的:是从丈量地段面积和衡量器物容积,从计算时间,从制造工作中产生的”,“纯数学是以现实世界的空间的形式和数量的关系——这是非常现实的资料——为对象的。这些资料表现于非常抽象的形式之中,这一事实只能表面地掩盖它的来自现实世界的根源”。这就是说,数学发展的根本原动力,它的最初的根源,不是来自它的内部,而是来自它的外部,来自客观实际的需要。我们现在强调数学建模,主张在数学教学中突出数学思想的来龙去脉,揭示数学概念和公式的实际来源和应用,恢复并畅通数学与外部世界的血肉联系,其依据就在这里。
   但如果对每一个概念、每一个公式,都要先讲它们的数学模型,讲它们的来龙去脉,并作为一个模式,不得越雷池半步,这不仅不可能、不必要,而且更是要不得的。这是因为,事物还有其另外的一面,数学的思想方法还有一个重要的特点,就是一旦形成了基本的概念和方法,不再需要实际需求的刺激,单凭解决数学内部矛盾这一需求的推动,单凭抽象的数学思维,数学也可以大踏步地向前推进,而且所得到的结论还可以成功地接受后来实践的检验,充分显示出数学的威力。正如恩格斯所说:“和所有其他的思维领域一样,从现实中抽象出来的规律,在一定的发展阶段上就和现实世界相脱离,并且作为某种好似独立的东西,好似从外面来的规律——世界应该与此规律相适合——而与之相对立。……,仅仅因为如此,数学才能被一般地应用。”这就是说,从数学发展的历史及实际情况来看,并不是数学的所有发现或发明都首先来自实践需要的推动,都是“加工订货”的产物,而且恐怕绝大多数的内容并非如此,但这些发现和发明不少在后来都被发现有这样或那样的原型或应用。恩格斯说得好:“自然界对这一切想象的数量都提供了原型。”他并没有武断地说:“这一切数量都是根据自然界中的原型引入进来的”,而只是说“自然界为之提供了原型”,这包括了后来发现其应用的可能性。而且,正如恩格斯所说,数学的这一特点,正是数学方法威力无穷的一个保证。如果数学本身不能能动地进行思维和发展,一切都要等待和依赖实际需要的推动,那么,数学要在现实中发挥作用,只能是消极的、被动的和滞后的,数学就失去了生命力,也不符合数学史上的大量事例。
   非欧几何的发现,是从证明欧几里德第五公设(平行线公设)的逻辑上的考虑出发的,前后达两千多年。原先只是构作了一个逻辑上同样没有矛盾的新几何体系,后来才找到了它的几何实现,即找到了它的原型,再后来才被成功地应用到爱因斯坦对广义相对论的研究中去的。同样,在量子力学兴起的时候,对海森堡创造的一个关键性的概念,很快发现就是数学上已有成熟理论的矩阵,因此一下子就对建立量子力学的体系发挥了重要的作用。杨振宁在建立规范场理论时所用的势及场强等基本的概念,后来也很快被发现就是数学上已有丰富结果的纤维丛的联络及曲率,很多问题因而一下子就迎刃而解了。恩格斯说得好,正因为数学有这样的特点,“数学才能被一般地应用”。数学在非常纯粹的状态之中按照其固有的运动轨道向前发展,而一旦需要,它会在解决现实世界中关键问题的时候突然现身,并发挥出人们意想不到的重要作用,将科学大踏步推向前进,这一点不由得不引起人们的惊奇和赞叹。爱因斯坦就曾经说过:“数学,人类纯思维的结晶,完全脱离于现实经验,怎样可能如此完美地适合物理世界的物体呢?”如果解释这一个原因,要涉及深奥的哲学问题,可能至今还会争论不休,这里不想涉及。但纵观数学发展的历史,这却是一个屡见不鲜的事实,我们不能对此熟视无睹。
   因此,在强调将数学建模精神融入到数学类主干课程的时候,我们不应该采取形而上学的思维方式,简单地在所有的概念或命题之前都机械地装上一个数学建模的实例,把一个完整的数学体系变成处处用不同的数学模型驱动的支离破碎的大杂烩。过去在文化大革命中的一些教材,由于片面强调理论联系实际,号召“以典型产品带动教学”,处处充满了实际问题的例子,教师难教,同学难学,效果很不理想,应该引以为鉴。
   有鉴于此,我觉得在将数学建模的思想融入数学类主干课程中去的时候,应该在总体上把握住以下几点:
   (1)坚持方向,树立信心,努力将数学建模的思想融入数学类主干课程中去,特别是大学本科数学类主干课程中去。
   (2)明确是将数学建模的思想融入数学类主干课程,而不是用“数学模型”或“数学实验”课的内容抢占各个数学类主干课程的阵地。
   (3)数学类主干课程的原有体系,是经过多年历史积累和考验的产物,没有充分的根据不宜轻易彻底变动。数学建模思想的融入宜采用渐进的方式,力争和已有的教学内容有机地结合,充分体现数学建模思想的引领作用。
   (4)为了突出主旨,也为了避免占用过多的学时,加重同学负担,对每一门数学主干课程要精选融入的数学建模内容,其原则应是:仅仅集中精力针对该门课程的核心概念和重要内容,不遍地开花;所用的实际背景应能简明扼要地阐述清楚,不拖泥带水,不烦琐臃肿;不追求自成体系、自我完善,在与原有内容有机衔接的时候,要自觉当好配角,让主角闪亮登场;文字要简洁、通顺,不摆弄吓人的名词和概念,做到朴实无华,平易近人。       
   总之,在将数学建模思想融入数学类主干课程的过程中,我们要追求的境界,应该像毛泽东主席在“咏梅”这一词章所写的那样:“俏也不争春,只把春来报。待到山花烂漫时,她在丛中笑。”
   将数学建模的思想融入数学类主干课程这一建议,并不是心血来潮的产物,而是有充分的根据,并已酝酿了相当长的一段时间的。